Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твердого тела при свободном движении

Угловая скорость – это физическая величина, равная отношению угла поворота тела ко времени, в течение которого этот поворот совершен. В следующий момент времени тело находится в точке B. При этом скорость его изменилось только по направлению и направлена по касательной к окружности. Иначе, при , векторы угловой скорости и углового ускорения имеют противоположные направления, а, значит, тело вращается замедленно.


Псевдовектор ε→{\displaystyle {\vec {\varepsilon }}} направлен по касательной к годографу угловой скорости. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках M0{\displaystyle M_{0}} и M1{\displaystyle M_{1}}. Однако в общем случае угловая скорость может менять со временем направление в трёхмерном пространстве, и такая упрощенная картина не работает.

В общем случае угловое ускорение не направлено по мгновенной оси, а, как производная по времени от вектора ω, параллельно касательной к годографу этого вектора. Мгновенным угловым ускорением называется величина, соответствующая малым значениям t. Направление ВЕКТОРА углового ускорения перпендикулярно к плоскости движения. Тангенциальным называют ускорение Т частицы, находящейся на расстоянии r от фиксированной точки; оно равняется ar , где a — его угловое ускорение.

А, которая была принята как полюс; — псевдовектор угловой скорости тела; — вектор, который был выпущен из полюса в точку – его скорость определяем. Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твердого тела при свободном движении

Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dφ (рис. 2). Размерность угловой скорости dim ω = Т-1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с). Если за любые равные промежутки времени вращающееся тело поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называется равномерным. Угловая скорость показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени.

Линейная скорость точки направлена по касательной к окружности, по которой она движется. Чем дальше от оси вращения находится точка, тем больше ее линейная скорость.

Угловое ускорение при вращении тела

Следовательно, линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу окружности, по которой она вращается. При равномерном вращении скорость меняется по направлению, но не изменяется по величине. Поскольку всякое изменение скорости характеризуется понятием ускорения, то для равномерного вращения следует ввести еще одно ускорение, изменяющееся не по величине, а по направлению. Это ускорение называют центростремительным.

Найдем вектор разности скоростей, воспользовавшись правилом действия с векторами. Чем меньше угол поворота, тем ближе направлен вектор скорости к направлению на центр вращения.

Поэтому можно считать, что вектор скорости характеризующий изменение скорости по направлению, направлен на центр. Отсюда и происходит название центростремительного ускорения. Получим выражение для центростремительного ускорения.

Однако в двумерном случае (случае плоского вращения) эта формула вполне достаточна, однозначна и корректна, так как в этом частном случае направление оси вращения заведомо однозначно определено. R является расстоянием от точки до оси вращения. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения. Проведем аналогию между вращательным и поступательным движениями. Если за любые равные промежутки времени поступательно движущееся тело совершает равные перемещения, движение называется равномерным.

Дополнительные материалы по теме: Угловое ускорение

Если видом неравномерного поступательного движения является равнопеременное движение, то для вращательного движения можно ввести понятие равнопеременного вращения. Метод, который использовался в данном случае, называется методом аналогий.

Угловая же скорость точек, лежащих на одном радиусе, одинакова. За время, равное периоду, точка проходит путь, равный длине окружности. Из чертежа видно, что вектор разности направлен в сторону близкую к центру окружности.

Угловая скорость является аксиальным вектором (псевдовектором). Средняя величина углового ускорения предмета, угловая скорость которого изменяется от q1 до q2 за время t, выражается как (q1-q2)/t. Угловая скорость является векторной величиной.